Partie C : prise en compte de différents paramètres

De manière générale, une fonction \(f\) est dite exponentielle lorsqu'il existe un réel \(a\) strictement positif tel que, pour tout nombre réel \(x\), \(f(x)=a^x\).

1. Combien vaut \(a\) dans la modélisation de la propagation de la rumeur, effectuée dans la partie B ?
2. Quelle serait l'expression de la fonction exponentielle qui modélise la propagation de la rumeur dans le cas où chaque élève informe \(3\) nouveaux élèves ? Et s'il en informe \(4\) ?

Le fichier de géométrie dynamique suivant montre l'allure des courbes représentative des fonctions exponentielles modélisant la propagation de la rumeur à \(2\) ; \(3\) ou \(4\) nouveaux élèves par chaque élève informé.
3. En cochant les cases prévues à cet effet, observer les allures des courbes représentatives, puis répondre aux questions suivantes.
    a. Donner par lecture graphique le signe et les variations des fonctions exponentielles représentées.
    b. Identifier la fonction exponentielle qui permet d'informer l'ensemble du lycée le plus rapidement. Est-ce étonnant ?

La case « Autre modèle » permet de modifier les paramètres de l'expression de la fonction exponentielle à utiliser pour modéliser la propagation de la rumeur.

4. Modifier la valeur du paramètre \(a\) et du paramètre \(n\), qui représentent le nombre d'élèves informés au début de la matinée. Commenter l'effet du changement de ces paramètres sur l'allure de la courbe, ainsi que sur la vitesse de propagation de la rumeur dans le lycée.
5. Quel semble être le comportement de la fonction exponentielle pour des valeurs de \(a\) de plus en plus grandes ? Expliquer pourquoi ce comportement n'est pas cohérent avec la situation.

On dit alors que le modèle de croissance exponentielle est adapté au début de la propagation de la rumeur, mais qu'il est moins pertinent sur des temps longs.
6. Proposer l'allure d'une courbe qui pourrait modéliser la propagation de la rumeur dans le lycée entre 8 h 00 et 17 h 00.